Чи існують числа насправді? Філософія, історія та формальна побудова

Головна » Культура » Чи існують числа насправді? Філософія, історія та формальна побудова

Коли ми використовуємо цифри, щоб визначити час, розплатитися в супермаркеті або перевірити баланс на банківському рахунку, ми сприймаємо їх як належне, ніби вони такі ж реальні, як ключі від будинку. Але якщо ми уважніше подумаємо, все стає складнішим: У якому сенсі числа справді «існують»?Чи це щось, що ми відкриваємо, як планети, чи щось, що ми винаходимо, як персонажі роману?

Ці дебати досить захопливо поєднують філософію, історію та математику. Протягом століть пропонувалися різні відповіді: від тих, хто вважає, що числа є частиною своєрідного «абстрактного світу», незалежного від нас, до тих, хто стверджує, що вони не що інше, як символічні інструменти, які ми створили для лічби, вимірювання та міркувань. По дорозі з'являються такі ідеї, як аксіоми Пеано, теорія множин, формальна побудова натуральних, цілих, раціональних, ірраціональних та дійсних чисел, і навіть відомі обмеження, відкриті Геделем.

Що означає, що число «існує»?

Перш ніж ми заглибимося у формули та аксіоми, варто уточнити, що ж ми маємо на увазі під «існуванням». Існування столу — це не те саме, що існування Шерлока Холмса чи існування... число, наприклад, 24Стіл — це фізичний об'єкт; Холмс — вигаданий, але чітко визначений персонаж; цифра 24, навпаки, не займає місця, нічого не важить і її не можна зберігати в шухляді.

Один із підходів до цього питання, що походить від Платона, стверджує, що числа є абстрактні сутності, що знаходяться в нефізичному доменіВони не складаються з матерії, але вони такі ж «реальні», як справедливість чи краса у платонівській філософії. З цієї точки зору, математики не винаходять числа, а радше відкривають їх: число 24 було «там», хоча ніхто про нього не думав.

Інші філософи та математики стверджують дещо інше: числа радше символи та концептуальні конструкції, які ми розробляємо для моделювання світу. Вони не існували б поза нашими теоріями та умовностями, хоча як тільки ці правила будуть встановлені, математичні результати будуть настільки жорсткими, наскільки нам хотілося б. У цьому підході 24 є результатом системи символів та операцій, про яку ми домовилися, а не частиною незалежного математичного всесвіту.

Існують також цікаві проміжні пропозиції: деякі автори стверджують, що число є різновидом абстрактний об'єкт з особливою властивістю: «якби він міг існувати, він би існував»Іншими словами, поняття має бути лише можливим та чітко визначеним, щоб мати певний вид логічного чи математичного існування. Такий спосіб висловлювання дозволяє нам включати не лише числа, а й множини, площі, функції, геометричні фігури та багато інших сутностей, які ми щодня використовуємо в математиці.

З будь-якої з цих точок зору, основна проблема схожа: Чим відрізняється існування числа від існування вигаданого персонажа?Усі знають, що таке число 5, і всі знають, хто такий Шерлок Холмс, але ми не приписуємо їм такої ж реальності. Дискусія, далеко не вичерпана, зазвичай викликає більше питань, ніж дає відповідей.

Числа, символи та значення: що насправді таке «2»?

Якщо ми відкинемо те, що сприймаємо як належне, і подивимося на цифри об'єктивно, перше, що ми побачимо, це письмові символи або звуки під час вимовлення«2», яку ми пишемо на папері, «два», яку ми вимовляємо вголос, або римська «II» – це не саме число, а його представлення.

Символ сам по собі є простим штрихом або шумом без змісту. Те, що надає йому значення, — це колективна згода: ми вирішили, що цей штрих представляє кількість, порядок, міруТак само, як і з літерами алфавіту, які самі по собі нічого не означають, але разом утворюють слова, які ми асоціюємо з ідеями, речами чи діями.

Ця символічна перспектива розкриває щось важливе: Немає нічого «магічного» в конкретній формі чиселМи могли б використовувати зовсім різні символи, і доки б ми погоджувалися на однакові правила та значення, математика все одно працювала б. Насправді, протягом історії існувало багато систем числення з абсолютно різними символами та правилами, і все ж усі вони служили для лічби, вимірювання та обчислення.

Однак повсякденне використання чисел виходить далеко за рамки простого їх запису: Сила чисел стає очевидною, коли ми з ними працюємо.Додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степенів… Усі ці операції дозволяють нам моделювати реальні явища: від ділення торта до проектування системи GPS-навігації чи розрахунку дози вакцини.

Саме тому, що математика лежить в основі майже всіх сучасних технологій, математики були змушені, особливо починаючи з 19 століття, визначити з максимальною точністю, що вони розуміють під «числом»Недостатньо було просто сказати «це те, що ми використовуємо для підрахунку»; потрібне було формальне визначення, щоб уникнути суперечностей і дозволити побудувати всю теорію з певністю.

Чи існують нескінченні числа, чи це також не так очевидно?

Одним із найскладніших питань під час обговорення існування чисел є тема нескінченностіМи звикли говорити, що існує нескінченна кількість натуральних чисел: 0, 1, 2, 3… і так далі. Але якщо ми приймемо це, виникнуть деякі цікаві питання.

Наприклад: якщо ми думаємо про «множину всіх чисел» і хочемо вибрати одне «випадковим чином», яка ймовірність отримати 5? Інтуїтивно, ми могли б сказати щось на кшталт 1 поділено на нескінченність, що здається нулемА якщо ймовірність дорівнює нулю, можна спокуситися сказати, що 5 «не з'являється» в цьому наборі, що звучить абсурдно, оскільки 5 явно там є.

Такий тип міркувань ілюструє зіткнення між повсякденними інтуїціями щодо нескінченності та строгий спосіб трактування ймовірностей та нескінченних множин у математиціУ теорії міри та ймовірності нульова ймовірність не означає, що це неможливо; це просто вказує на те, що в межах нескінченного континууму її «вага» незначна. Іншими словами, ідея про те, що «нульова ймовірність = не існує», не є коректною в математиці.

З цього виникає ще одна, більш філософська пропозиція: можливо, числа не «даються» як повна нескінченність, а радше Ми генеруємо їх крок за кроком, просуваючись без меж, але не досягаючи кінцевої нескінченності.Іншими словами, числа були б потенційно нескінченними (ми завжди можемо продовжувати додавати 1), але не було б «суми» всіх них як чогось замкнутого.

Ця позиція пов'язана з уявленням про натуральні числа як об'єкти, що утворюються послідовно (0, потім його наступник, потім наступник наступника тощо), що підводить нас до відомого Аксіоми Пеано теорія множин як формальна основа сучасної математики.

Від нічого до нуля: множини, порожній простір та натуральні числа

Для точної побудови натуральних чисел багато математиків 19-го століття спиралися на спільну мову: Теорія множинІдея на перший погляд проста: ми працюємо з «множинами» (колекціями) та «елементами» (те, що належить до цих колекцій) і наводимо кілька основних аксіом про те, як вони поводяться.

Одна з фундаментальних аксіом є аксіома розширення: Дві множини вважаються рівними, якщо вони мають абсолютно однакові елементиІнша умова, специфікація, дозволяє нам формувати підмножини з умови: для заданої множини A та властивості T існує множина всіх елементів A, які задовольняють умову T.

За допомогою цих інструментів ми можемо визначити щось ключове: порожній набір, що є множиною, що не має елементів. Її можна представити як множину всіх x в A таких, що x ≠ x (неможлива умова), тому ніхто не входить до цього клубу. Ця множина зазвичай називається 0 і стає наріжним каменем формальної побудови натуральних чисел.

Звідти ми можемо «назвати» перші числа певними множинами: порожню множину ми називаємо 0, множину, що містить лише 0, ми називаємо 1, множину, що містить і 0, і 1, ми називаємо 2 і так далі. Кожне число побудовано як множина, яка збирає до всіх вищезазначених номерівТакий спосіб кодування натуральних чисел (подібний до пропозиції Фреге, а пізніше до фон Неймана) дозволяє пов'язати порядок "менше ніж" з включенням множин.

Щоб рухатися далі, нам потрібна аксіома об'єднання: для заданої колекції множин існує множина, що містить усі елементи, що належать хоча б одній з них. А також ми визначаємо наступник множини A оскільки A+ = A ∪ {A}. Тобто, ми додаємо саму множину як новий елемент, що дозволяє нам просуватися "вгору" номер за номером.

Це вводить поняття набір наступниківМножина S є множиною-наступником, якщо вона містить 0, і щоразу, коли вона містить елемент A, вона також містить його наступника A+. Ключова аксіома стверджує, що існує принаймні одна множина-наступник. Якщо ми візьмемо перетин усіх можливих множин-наступників, ми отримаємо найменшу множину, яка містить їх усі: саме тут множина-наступник «вкладена». натуральні числа, ℕ.

Аксіоми Пеано: забезпечення того, що 1 + 1 = 2, не є таким вже й тривіальним

Як тільки ми ідентифікуємо ℕ як мінімальну множину, що містить 0 та стабільну за послідовністю, ми можемо вивчати її властивості. Джузеппе Пеано сформулював дуже стислий список аксіом наприкінці 19 століття, який охоплює суть поведінки натуральних чисел.

У типовому варіанті, починаючи з 1 замість 0, аксіоми Пеано сформульовують, у загальних рисах, наступне: по-перше, 1 – натуральне числоПо-друге, кожне натуральне число має наступника, який також є натуральним числом. По-третє, жодне натуральне число не має 1 як наступника (або, в іншому формулюванні, 0 не є наступником жодного натурального числа). По-четверте, якщо набір натуральних чисел містить 1 і замкнутий послідовністю, то він містить усі натуральні числа: це принцип індукціїПо-п'яте, якщо два числа мають однакового наступника, то ці два числа рівні.

Ці аксіоми, хоча й здаються формальними та дещо сухими, охоплюють ідеї, які ми несвідомо використовуємо з дитинства. Наприклад, індукція дозволяє нам доводити властивості типу «всі натуральні числа задовольняють X», доводячи, що X дійсний для першого І якщо це вірно для одного числа, то це вірно і для його наступника. Це свого роду логічний ефект доміно.

З цих аксіом виводяться основні властивості натуральних чисел, такі як Немає числа, наступником якого є 0.або що операція "наступника" є ін'єктивною (якщо два числа мають однакового наступника, вони є одним і тим самим числом). Вони також дозволяють нам характеризувати ℕ як єдину множину, яка задовольняє певні комбіновані умови наступності та індукції.

Найцікавіше те, що, виходячи з цієї логічної структури та поняття наступника, можна строго побудувати звичайні арифметичні операціїдодавання, множення та степені, а також демонструють їхні класичні властивості (комутативність, асоціативність, існування нейтральних елементів тощо) без апеляції до принципу «інтуїтивно це так».

Як побудувати суму, добуток та степені над ℕ

Як тільки ми приймемо аксіоми Пеано та чітко визначимо множину ℕ, ми можемо запитати себе: як саме ми визначаємо такі операції, як додавання, не сприймаючи їх як належне? Для цього ми використовуємо дуже потужний інструмент: Теорема рекурентності, що гарантує існування та єдиність певних функцій, визначених крок за кроком на натуральних числах.

Ідея полягає в наступному: якщо у нас є множина X, початковий елемент a в X та функція f: X → X, то теорема гарантує існування єдиної функції u: ℕ → X така, що u(0) = ayu(n+) = f(u(n)) для всіх натуральних чисел n. Тобто, ми можемо побудувати u, застосовуючи f знову і знову, починаючи з a, і не буде двох різних способів зробити це, які б відповідали цьому визначенню.

Застосовуючи цю ідею до натуральних чисел, ми можемо визначити суму фіксованого числа m з будь-яким n. Ми беремо X = ℕ, a = m та функцію s: ℕ → ℕ, яка відображає кожне na в його наступника n+. Тоді теорема рекурентності дає нам функцію S_m: ℕ → ℕ, де S_m(0) = m та S_m(n+) = s(S_m(n)). Ми інтерпретуємо цю функцію як сума m + nТобто, ми визначаємо S_m(n) = m + n.

З цим формальним визначенням щось таке поширене, як 1 + 1, перетворюється на невеликий ланцюжок застосувань: 1 + 1 = S_1(1) = S_1(0+) = s(S_1(0)) = s(1) = 2Не те щоб математики не знали, що 1 + 1 дорівнює 2, а те, що вони хочуть обґрунтувати, чому в рамках аксіоматичної системи ця рівність неминуча.

З цього визначення можна довести такі властивості, як те, що 0 діє як одиничний елемент для додавання (m + 0 = my, 0 + m = m для всіх m), що додавання є комутативний (a + b = b + a), і це також асоціативний ((a + b) + c = a + (b + c)). Усі ці докази спираються на принцип індукції та поведінку наступника.

Добуток визначається аналогічно. Фіксуємо число m, беремо функцію P_m: ℕ → ℕ таку, що P_m(0) = 0 та P_m(n+) = S_m(P_m(n)). Інтерпретуємо P_m(n) як м × пТак, наприклад, 1 × 2 розкривається як P_1(2) = P_1(1+) = S_1(P_1(1)) = S_1(1) = 2. Потім, знову використовуючи індукцію, демонструються його властивості: комутативність, асоціативність та те, що 1 є одиничним елементом добутку.

Степені будуються наступним кроком: ми визначаємо E_m: ℕ → ℕ, де E_m(0) = 1 та E_m(n+) = P_m(E_m(n)), і записуємо E_m(n) = m^n. З цього визначення випливають такі тотожності, як m^(n + k) = m^n × m^k, знову ж таки за допомогою принципу індукції та вже продемонстрованих властивостей продукту.

Весь цей процес, хоча й формальний і дещо технічний, ілюструє, що структура елементарної арифметики не «висить у повітрі», а підтримується кілька дуже чітких аксіом та жменька логічних аргументівЗ цієї точки зору, «існування» натуральних чисел означає, що існує модель (наприклад, множини, побудовані з порожньої множини), яка задовольняє ці аксіоми.

Від натуральних чисел до цілих, раціональних та ірраціональних чисел

Як тільки натуральні числа остаточно встановлені, історія на цьому не закінчується. Повсякденні та наукові проблеми змушують нас розширити цей числовий всесвітНаприклад, з натуральними числами ми знаємо лише, як рахувати та додавати, але не як віднімати загалом або ділити.

Наступним кроком зазвичай є введення цілі числа, які включають натуральні числа та їх від'ємні версії: …, -2, -1, 0, 1, 2, … Історично дроби з'явилися раніше від'ємних чисел, але з формальної точки зору зручно почати з цілих чисел. Ціле число можна визначити як клас еквівалентності пар натуральних чисел (a, b), де ми вважаємо дві пари (a, b) та (c, d) еквівалентними, якщо a + d = b + c. Інтуїтивно це відповідає уявленню про "відняти" від − b, хоча формально це віднімання ще не існує в межах ℕ.

Тоді раціональні числаВони відповідають дробам, які ми завжди знали. Вони використовуються для вимірювання величин, які не є цілим числом одиниць, таких як половина торта, третина літра або три чверті години. Раціональне число зазвичай представляється як a/b, де a та b – цілі числа, а b ≠ 0. Формально кожне раціональне число визначається як клас еквівалентності пар (a, b), де b не дорівнює нулю, де дві пари (a, b) та (c, d) еквівалентні, якщо a·d = b·cТобто, якщо вони представляють однакову пропорцію.

Піфагорійці вважали, що «все є число» в сенсі «все раціональне», але ця точка зору була спростована, коли було виявлено, що діагональ квадрата зі стороною 1 (квадратний корінь з 2) не можна записати як дріб цілих чисел. Пізніше також було показано, що π та e – ірраціональні числаТобто, їх не можна виразити як a/b з цілими числами a та b.

Для ретельної побудови ірраціональні числа Це трохи делікатніше. Елегантний спосіб зробити це – через дзвінки. Розрізи ДедекіндаІдея полягає в тому, щоб розглянути певні підмножини раціональних чисел, які мають певну верхню межу. Наприклад, можна взяти множину всіх раціональних чисел, квадрат яких менший за 2; її природний «розріз» — √2, що не є раціональним. Таким чином, кожен відповідний розріз можна розглядати як дійсне число, і деякі з цих розрізів не відповідають раціональним числам.

Об'єднавши всі раціональні числа та всі ці розрізи, що призводять до ірраціональних чисел, ми будуємо множину дійсні числа, ℝУ ℝ живуть усі числа, які ми використовуємо для вимірювання неперервних величин: довжини, площі, час, швидкість тощо. У дійсних числах все ще «вбудовані» натуральні, цілі та раціональні числа, кожне зі своєю специфічною інтерпретацією.

Короткий огляд історії систем числення

Питання існування чисел не лише абстрактне; воно також відображене в історії того, як різні культури навчилися їх рахування та запис кількостейНайдавніші свідчення нумерації датуються приблизно 7000 роком до нашої ери, коли для простого підрахунку використовувалися мітки та кістки.

У Стародавньому Єгипті, за часів Першої династії, була розроблена ієрогліфічна десяткова система числення. Кожен степінь десяти мав свій власний символ, і вони були Вони згрупували елементи по десятках.Його використовували для практичних завдань, таких як розрахунок податків, вимірювання сільськогосподарських полів або будівництво храмів.

У Месопотамії шумери, а пізніше і вавилоняни використовували шістдесяткову систему числення, тобто основа 60Його складність полягала у великій кількості символів та можливих комбінацій, але він виявився надзвичайно ефективним для астрономії та хронометражу. Фактично, ми досі використовуємо цю спадщину сьогодні в годинах, хвилинах та секундах.

Греки взяли єгипетську десяткову систему як орієнтир і розробили систему, в якій вони використовували літери їхнього алфавіту для позначення чиселОднак аттична система виявилася досить жорсткою та дещо обмежувала розвиток передової арифметики, хоча греки вражаюче досягли успіхів у геометрії та логічних доказах.

Римська система, більш знайома нам, привласнювала числові значення певним літерам (I, V, X, L, C, D, M). Хоча вона була простішою за інші на вигляд, Це не було позиційнимЧерез це виконання складних обчислень було дуже громіздким. Для кількох дат на фасаді будівлі це цілком підходить; для алгебри ж не так добре.

Паралельно, приблизно в 5 столітті до нашої ери в Індії виникла десяткова та позиційна система числення. У цій системі значення кожної цифри залежить від її позиції, і десять одиниць одного порядку еквівалентні одній одиниці наступного вищого порядку. Ця система, яка явно включала нуль як числоВін виявився неймовірно потужним та практичним.

Араби, контактуючи з такими культурами, як індуїстська, грецька та єгипетська, прийняли та поширили цю десяткову позиційну систему числення. Хоча ми говоримо про «арабські цифри», насправді Його походження знаходиться в ІндіїСаме ісламські народи передали її до Європи, зокрема через Аль-Андалус. З часом ця система витіснила римські цифри та стала світовим стандартом.

У доколумбовій Америці цивілізація майя розробила надзвичайно розвинену числову систему, засновану на 20, а також позиційну. Крім того, вони чітко визнавали нуль. Вони представляли числа, комбінуючи крапки та смуги: крапки для одиниць вимірювання та риски для групування по п'ятірках. Його робота з календарем та астрономією була вражаюче точною.

Весь цей історичний огляд підкріплює ідею про те, що, хоча форми та правила змінюються, Потреба рахувати, вимірювати та впорядковувати світ є універсальною.Числа, у своїх різних втіленнях, здається, з'являються знову і знову скрізь, де є цивілізація, яка хоче впорядкувати свій досвід довкілля.

Межі системи: Гедель і віра в математику

Наприкінці 19-го та на початку 20-го століть багато математиків прагнули перетворити математику на повністю міцна будівля, вільна від суперечностейІдея полягала в тому, щоб знайти скінченний набір основних аксіом, з яких можна було б вивести всі інші математичні результати за допомогою чистої логіки.

Такі діячі, як Анрі Пуанкаре, були скептично налаштовані та вважали цю амбіцію недосяжною, тоді як інші, на чолі з Девід ГільбертВони були впевнені, що ідеальну аксіоматичну систему можна створити для арифметики, а отже, і для решти галузей математики.

Потім з'явився Курт Гедель і довів дві теореми, які назавжди змінили ландшафт. Перша стверджує, значно спрощуючи, що в будь-якій системі, достатньо потужній, щоб включати базову арифметику (наприклад, Аксіоми Пеано), завжди існуватимуть істинні твердження, які неможливо довести всередині самої системи. Іншими словами: арифметика не може бути одночасно повною та несуперечливою.

Друга теорема Геделя ще більш тривожна: вона показує, що якщо аксіоматична система, подібна до арифметичної, є несуперечливою (не має суперечностей), то Цю узгодженість неможливо продемонструвати зсередини самої системи.Якби хтось довів, що в арифметиці немає суперечностей, використовуючи лише її аксіоми та правила, це парадоксально означало б, що система не є когерентною.

Ці висновки іноді інтерпретували як своєрідний «космічний жарт»: якщо ми так сильно покладаємося на математику як головний інструмент для пізнання, ми повинні визнати, що в певному сенсі Ми також повинні вірити в те, що не можемо довести в межах самої математичної системи.«Існування» розумної арифметичної системи без суперечностей вимагає мінімального акту віри.

Коли ми складаємо докупи всю цю подорож — від символів та кістки Ішанго, через Єгипет, Вавилон, Індію та майя, до теорії множин, аксіом Пеано, формальних конструкцій різних типів чисел та теорем Геделя — ми бачимо, що числа одночасно є... людські інструменти та напрочуд міцні конструкціїМи можемо сперечатися, чи «існують» вони як абстрактні сутності, чи як складні умовності, але очевидно, що вони формують наше розуміння Всесвіту та певним чином перевершують нас: навіть якби ми зникли, важко уявити космос, у якому 1 + 1 більше не було б 2.